MPSILes fiches sur l’année de MPSI Généralités : Logique, ensembles, quantificateurs, relations Compléments Calcul Produits, sommes,sommes doubles, coefficients binomiaux Trigonométrie Radian, cosinus, sinus, tangente, arccos, arcsin, arctan Nombres Complexes Rappels et approfondissements. Fonctions :Rappels et compléments Intégration et primitivesAire, Définitions, propriétés, changement de variable, intégration par parties, calculs. Primitives et Equations différentielles :Primitives, propriétés primitives, équations différentielles premier et second ordre. Structure de RBornes sup/inf, droite achevée, inégalités, intervalles, partie entière, adhérence, densité, voisinage, valeur absolue SuitesRappels et approfondissements Limites de FonctionsDéfinitions, opérations sur les limites, limites et inégalités, obtenir une limite avec des comparaisons ou de la monotonie, lien avec les suites, limites de fonction complexe, exemples de calculs de limites. Continuité Continuité en un point et globale, TVI, image d’un intervalle, continuité et monotonie, continuité et suites, continuité sur un segment, norme infinie, convergence simple, uniforme, continuité de la limite, exercices DérivabilitéDéfinitions, opérations, lien entre sens de variation et dérivées, dérivées- extrémums : points critiques, fonctions de classe Cn, extension d’une dérivée, théorème de Rolle, inégalité des accroissements finis (suites), exercices ConvexitéDéfinition avec des droites sécantes, lien entre convexité et dérivée, point d’inflexion, inégalité de Jensen ArithmétiqueMultiples/diviseurs, division euclidienne, congruence, PGCD, PPCM, théorème de bezout, nombres premiers, nombres premiers entre eux, petit théorème de Fermat Structures algébriquesLois de composition interne, groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, groupes symétriques, anneaux, morphismes d’anneau, corps MatricesDéfinition, produit matriciel, Anneau, Système linéaire, Inversibilité, Opérations élémentaires, lien inversibilité-sytèmes linéaires PolynômesDéfinition, Evaluation, Racines, Dérivation, Divisibilité, Division euclidienne, PGCD, PPCM, relation de Bezout, Polynômes premiers entre eux, Théorèmes de Bezout et de Gauss, Théorème d’Alembert-Gauss, Polynômes scindés sur C et R, Relation racines-coefficients, Polynômes de Lagrange Fractions rationnellesDéfinition, Dérivation, Notion de degré, zéros, pôles, décomposition en éléments simples, exemples Analyse asymptotiquePetit o, Equivalents, Grand O, Développements limités Espaces VectorielsApplications linéaires, Matrices applications linéaires, Espaces affines, Déterminants Intégration sur un segmentRappels sur continuité uniforme, Fonctions en escalier, continues par morceaux, Intégrale fonction en escalier, Intégrale fonction continue par morceaux, propriétés de l’intégrale, Intégrale et parité, Intégrale et périodicité, Sommes de Riemann, Intégrale et primitive, Intégrale et formule de Taylor. Espaces préhilbertiens réelsProduit scalaire, Norme, Inégalité de Cauchy Schwartz, orthogonalité, supplémentaires, bases orthonormées, projeté orthogonal, distance d’un point à un sev. Séries, Familles sommablesGénéralités sur les séries, Séries de Riemann et à termes positifs, Convergence absolue, Séries alternées, Integrales de Wallis, Equivalent de n!, familles sommables de réels positifs, familles sommables de réels ou de complexes. Fonctions de 2 variablesDéfinitions, Généralités et continuité dans RxR, Dérivation dans RxR, Fonctions C1, Développements limités, Dérivation de fonctions composées, Extremums locaux..